UNIDAD 4: FLEXION

• 4.1: Diagrama de cortante y momento flexionante en vigas estáticamente determinadas
• Cuando una viga se carga de fuerzas o pares, se desarrollan esfuerzos y deformaciones unitarias en todo su interior. Para determinarlos, primeros debemos encontrar  las fuerzas internas y los pares internos que actúan sobre secciones transversales de la viga       
• Para ilustrar como se determinan las cantidades internas, considere una viga en voladizo AB cargada por una fuerza P en su extremo libre, cortamos atravez de la viga una sección transversal mn ubicada a una distancia x del extremo libre y aislamos la parte izquierda de la viga como un diagrama de cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre se mantiene en movimiento por la fuerza P y por los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal cortada. Estos esfuerzos representan la acción de la parte derecha de la viga sobre la parte izquierda. En este punto de nuestro análisis no conocemos la distribución de los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal; todo lo que sabemos es que la resultante de dichos esfuerzos debe mantener el equilibrio del cuerpo libre.
• De la estática sabemos que la resultante de los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal se puede reducir a una fuerza cortante en V y un momento flexionante x M. como la carga P es transversal al eje de la viga, no existe fuerza axial en la sección transversal. Tanto la fuerza cortante como el momento flexionante actúan en el plano de la viga, es decir, el vector para fuerza cortante se encuentra en el plano de la figura y el vector para el momento es perpendicular al plano de la figura.
• Las fuerzas cortantes y los momentos flexionante, al igual que las fuerzas axiales en barras y los pares de torsión internos en ejes, son la resultante de esfuerzos distribuidos por la sección transversal. Por lo que estas cantidades son conocidas como resultantes de esfuerzos.

           Ejemplo de de diagramas de fuerza cortante y momento flexionante 

• La magnitud de las fuerzas internas se usa para el diseño de la sección transversal de la viga. En este caso la sección de máximo momento está cerca al centro de la luz (Mmax = 7,1 kN-m), y este valor sería el empleado en un diseño como el de los «esfuerzos admisibles» definido por la norma colombiana NSR-98, para seleccionar la sección del perfil estructural, si se hiciese en acero. Pero en el apoyo izquierdo hay un momento negativo de valor importante (M = - 4 kN-m), que deberá tenerse en cuenta si el diseño de la viga se hace en concreto reforzado. Como es sabido, en el concreto estructural el refuerzo se coloca para atender las tensiones; en el centro de la luz la tensión está en la parte inferior y en el apoyo o voladizo, la tensión está en la parte superior.

• La característica fundamental de las vigas es ser elementos a flexión y en el curso de resistencia de materiales se derivan y trabajan las relaciones diferenciales entre el momento flector y la curvatura de la viga

• Operando con esta relación diferencial se pueden predecir las deflexiones en cualquier punto de la viga en función de los parámetros mecánicos de la viga: el momento de inercia (I) de la sección transversal y el módulo de elasticidad (E) del material de la viga
• En el curso anterior, de Resistencia de materiales, se estudiaron los métodos tradicionales, denominados «métodos geométricos», para predecir las deformaciones:
  •          Método de la doble integración
  •          Método de los teoremas de área de momentos o teoremas de Mohr
  •          Método de la Viga conjugada.
  Estos métodos se aplican para predecir las deformaciones en vigas, siempre y cuando el comportamiento de la estructura esté dentro del rango elástico y las deformaciones sean pequeñas (como sucede generalmente en las vigas), en las cuales la relación entre la deflexión máxima y la luz es menor  de 1/200 y la relación entre la altura de la sección transversal y la luz es menor de 1/10. En estas circunstancias las deformaciones dependen fundamentalmente del momento flector. El conocimiento de las deflexiones es importante, no solo para controlarlas, sino que sirve  como herramienta en el análisis de las vigas continuas, como la mostrada en la figura, en la que las reacciones y fuerzas internas no se pueden determinar sólo con los métodos de la Estática. En la figura 6.7 (parte inferior) se muestra la diferencia de comportamiento de las vigas continuas y las  simplemente apoyadas (vigas simples), con respecto a la flexión y a la transmisión de las cargas. En la viga continua de dos luces (fig (a)), la flexión se presenta en los dos tramos, pero con curvaturas contrarias, mientras que en  la viga de dos tramos simples (fig.(b)), la flexión solo presenta en el tramo cargado.
  
  
  
  En los casos en que la altura de la sección transversal de la viga es grande con respecto a la luz, el cortante influye también en la magnitud de las deformaciones. Estos casos se pueden manejar por los métodos de la energía, que se tratarán en el capítulo sexto de este texto.
    La relación entre las fuerzas externas y los esfuerzos se predice mediante la «teoría de la flexión pura» que se trata en el curso de Resistencia de materiales. Este modelo permite predecir los esfuerzos internos en la sección transversal en función del momento, mediante la conocida expresión de:
  
  
  
  Esta ecuación clásica que relaciona los esfuerzos (f) a tensión o compresión en la sección transversal de la viga con el momento flector (M) y la distancia de la fibra al eje neutro de la viga (y), se aplica en la determinación de esfuerzos elásticos en las vigas y en los denominados métodos elásticos de diseño como el de los esfuerzos admisibles, usado tradicionalmente en el diseño de estructuras de madera y acero y ya en desuso en otros materiales como el concreto reforzado, en el cual el comportamiento inelástico es usado en el diseño y se incluye en los métodos de los estados límites.
  
  
  
  

  4.2 ESFUERZO NORMAL Y CORTANTE EN VIGAS

  
  

  CONCEPTO DE ESFUERZO

  Consideremos un sólido prismático en equilibrio estático bajo la acción de un sistema de fuerzas exteriores. Supongamos el sólido dividido en dos partes A Y B mediante un plano de corte imaginario normal a la directriz

  Atreves del corte imaginario, la parte B debe ejercer sobre la parte A una fuerza R y un momento M, referidos al centro de gravedad G de la sección, equivalentes a la acción exterior sobre la parte B, ya que en otro caso no se mantendría el equilibrio estático de la parte A.

  Obviamente, la parte A ejerce sobre la parte B una fuerza y un momento iguales y de sentido contrario, R y un momento  M

  Estas fuerzas internas que se ejercen entre sı las dos mitades del solido elástico atravez dela sección transversal del mismo, se conocen con el nombre de esfuerzos. Los esfuerzos son las resultantes de las tensiones sobre una sección transversal del solido prismático. Normalmente, se refieren al centro de gravedad G de la sección transversal.

  Esfuerzos normal y cortante

  La resultante de fuerzas tiene tres componentes en el sistema de referencia GXYZ de la sección transversal

  R= Ni+Tyj+Tzk

  La componente según el eje X, N, se conoce con el nombre de esfuerzo normal o de esfuerzo axial. Su expresión en función de las tensiones [T] que actúan sobre las secciones transversales:

  N =ƪΩ   σnx dΩ

  
  

  
  

  
  

  La componente según el eje Y, T y, es un esfuerzo cortante. Su expresión en función de las tensiones que actúan sobre la sección transversal es

  
  

  Ty=  ƪΩ   Txy dΩ

  
  
  
  
  

  
  

  Concepto de esfuerzo (diagrama)

  
  

  

  La componente según el eje Z, Tz, es el esfuerzo cortante según el eje Z. Su expresión en función de las tensiones que actúan sobre la sección transversal es:

  
  

  Tz=ƪΩ τxz dΩ

  
  

  4.3 DEFLEXION EN VIGAS

  
  

  DEFLEXION EN VIGAS

  Ecuación diferencial de la elástica

  Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida en el tema 2, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión pura:

  

  
  

      Donde ‘r’ es el radio de curvatura, ‘E’ el módulo de elasticidad del material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la sección transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que está sometida la misma.  Observemos que este último término se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’).

  Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto ‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión

  

  Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el término relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:

  

  Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.

  

  METODOS DE DOBLE INTEGRACION

  Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza  cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente  la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.

  Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

  

  El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial.  Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante.Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’.  Planteamos:

  

  Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación:

  

  De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.

  

  Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:

  Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier disIntegrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:
  

  

  Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.

  
  

  El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’, depende de las condiciones de frontera.  Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga.  Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.tancia ‘x’ m

  
  

  
  

  METODO DE TRES MOMENTOS

  Con este método puede analizarse una viga sostenida por cualquier número de apoyos.  De hecho, el teorema soluciona los momentos flectores en los apoyos sucesivos entre sí, y con las cargas que actúan en la viga.  En el caso de una viga con tres apoyos únicamente, este método permite el cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones de los extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos.  Luego pueden usarse los principios de estática para determinar las reacciones.

  
  

   En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica en sucesión a juegos de tres apoyos adyacentes, para obtener un juego de ecuaciones que se puede resolver simultáneamente para los momentos desconocidos.  Se puede usar el teorema de los tres momentos para cualquier combinación de cargas.de un extremo de la viga.

  
  

  El término ‘C₂’ es una constante de integración que, al igual que ‘C₁’, depende de las condiciones de frontera.  Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga.  Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.

  
  
  
  

  4.4  VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

  
  
  
  

  
  

  El análisis de las vigas estáticamente indeterminado es muy diferente al de las estáticamente determinadas. Cuando una viga es estáticamente determinada podemos obtener todas las reacciones, las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes a partir del diagrama de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio.

  Cuando una viga es estáticamente indeterminada, para determinar todas las reacciones no son suficientes las ecuaciones de equilibrio y se necesitan ecuaciones adicionales. El método mas fundamental para analizar una viga estáticamente indeterminada es resolver la ecuación diferencial de la curva de flexión.

  Si bien este método  sirve como un buen punto de partida en nuestro análisis, solo es práctico para los tipos de viga indeterminadas más simples.

  
  

  TIPOS DE VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

  Por lo general las vigas estáticamente indeterminadas se identifican  por la configuración de sus apoyos, por ejemplo una viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro se le denomina viga en voladizo apuntalada.

  Otro tipo de viga estáticamente indeterminada, conocida como viga doblemente empotrada, esta viga tiene soportes empotrados en ambos extremos, con lo cual resultan un total de seis reacciones desconocidas (dos fuerzas y un momento en cada soporte), puesto que solo has tres ecuaciones de equilibrio, la viga estáticamente indeterminada de  tercer grado (esta viga también recibe el nombre de viga empotrada o viga apuntalada).

  Viga continua llamada así porque tiene más de un clavo y es continúa sobre su soporte interior: Esta viga es estáticamente indeterminada de primer grado porque tiene cuatro fuerzas  reactivas y se dispone de solo tres ecuaciones de equilibrio.

  
  

  Bibliografia 

  
  

   GERE JAMES M.

  MECANICA DE MATERIALES

  A. Arguelles y I. Viña. Formulario Técnico de Elasticidad y Resistencia de Materiales. Bellisco. 2004