UNIDAD 4: FLEXION

• 4.1: Diagrama de cortante y momento flexionante en vigas estáticamente determinadas
• Cuando una viga se carga de fuerzas o pares, se desarrollan esfuerzos y deformaciones unitarias en todo su interior. Para determinarlos, primeros debemos encontrar  las fuerzas internas y los pares internos que actúan sobre secciones transversales de la viga       
• Para ilustrar como se determinan las cantidades internas, considere una viga en voladizo AB cargada por una fuerza P en su extremo libre, cortamos atravez de la viga una sección transversal mn ubicada a una distancia x del extremo libre y aislamos la parte izquierda de la viga como un diagrama de cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre se mantiene en movimiento por la fuerza P y por los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal cortada. Estos esfuerzos representan la acción de la parte derecha de la viga sobre la parte izquierda. En este punto de nuestro análisis no conocemos la distribución de los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal; todo lo que sabemos es que la resultante de dichos esfuerzos debe mantener el equilibrio del cuerpo libre.
• De la estática sabemos que la resultante de los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal se puede reducir a una fuerza cortante en V y un momento flexionante x M. como la carga P es transversal al eje de la viga, no existe fuerza axial en la sección transversal. Tanto la fuerza cortante como el momento flexionante actúan en el plano de la viga, es decir, el vector para fuerza cortante se encuentra en el plano de la figura y el vector para el momento es perpendicular al plano de la figura.
• Las fuerzas cortantes y los momentos flexionante, al igual que las fuerzas axiales en barras y los pares de torsión internos en ejes, son la resultante de esfuerzos distribuidos por la sección transversal. Por lo que estas cantidades son conocidas como resultantes de esfuerzos.

           Ejemplo de de diagramas de fuerza cortante y momento flexionante 

• La magnitud de las fuerzas internas se usa para el diseño de la sección transversal de la viga. En este caso la sección de máximo momento está cerca al centro de la luz (Mmax = 7,1 kN-m), y este valor sería el empleado en un diseño como el de los «esfuerzos admisibles» definido por la norma colombiana NSR-98, para seleccionar la sección del perfil estructural, si se hiciese en acero. Pero en el apoyo izquierdo hay un momento negativo de valor importante (M = - 4 kN-m), que deberá tenerse en cuenta si el diseño de la viga se hace en concreto reforzado. Como es sabido, en el concreto estructural el refuerzo se coloca para atender las tensiones; en el centro de la luz la tensión está en la parte inferior y en el apoyo o voladizo, la tensión está en la parte superior.

• La característica fundamental de las vigas es ser elementos a flexión y en el curso de resistencia de materiales se derivan y trabajan las relaciones diferenciales entre el momento flector y la curvatura de la viga

• Operando con esta relación diferencial se pueden predecir las deflexiones en cualquier punto de la viga en función de los parámetros mecánicos de la viga: el momento de inercia (I) de la sección transversal y el módulo de elasticidad (E) del material de la viga
• En el curso anterior, de Resistencia de materiales, se estudiaron los métodos tradicionales, denominados «métodos geométricos», para predecir las deformaciones:
  •          Método de la doble integración
  •          Método de los teoremas de área de momentos o teoremas de Mohr
  •          Método de la Viga conjugada.
  Estos métodos se aplican para predecir las deformaciones en vigas, siempre y cuando el comportamiento de la estructura esté dentro del rango elástico y las deformaciones sean pequeñas (como sucede generalmente en las vigas), en las cuales la relación entre la deflexión máxima y la luz es menor  de 1/200 y la relación entre la altura de la sección transversal y la luz es menor de 1/10. En estas circunstancias las deformaciones dependen fundamentalmente del momento flector. El conocimiento de las deflexiones es importante, no solo para controlarlas, sino que sirve  como herramienta en el análisis de las vigas continuas, como la mostrada en la figura, en la que las reacciones y fuerzas internas no se pueden determinar sólo con los métodos de la Estática. En la figura 6.7 (parte inferior) se muestra la diferencia de comportamiento de las vigas continuas y las  simplemente apoyadas (vigas simples), con respecto a la flexión y a la transmisión de las cargas. En la viga continua de dos luces (fig (a)), la flexión se presenta en los dos tramos, pero con curvaturas contrarias, mientras que en  la viga de dos tramos simples (fig.(b)), la flexión solo presenta en el tramo cargado.
  
  
  
  En los casos en que la altura de la sección transversal de la viga es grande con respecto a la luz, el cortante influye también en la magnitud de las deformaciones. Estos casos se pueden manejar por los métodos de la energía, que se tratarán en el capítulo sexto de este texto.
    La relación entre las fuerzas externas y los esfuerzos se predice mediante la «teoría de la flexión pura» que se trata en el curso de Resistencia de materiales. Este modelo permite predecir los esfuerzos internos en la sección transversal en función del momento, mediante la conocida expresión de:
  
  
  
  Esta ecuación clásica que relaciona los esfuerzos (f) a tensión o compresión en la sección transversal de la viga con el momento flector (M) y la distancia de la fibra al eje neutro de la viga (y), se aplica en la determinación de esfuerzos elásticos en las vigas y en los denominados métodos elásticos de diseño como el de los esfuerzos admisibles, usado tradicionalmente en el diseño de estructuras de madera y acero y ya en desuso en otros materiales como el concreto reforzado, en el cual el comportamiento inelástico es usado en el diseño y se incluye en los métodos de los estados límites.
  
  
  
  

  4.2 ESFUERZO NORMAL Y CORTANTE EN VIGAS

  
  

  CONCEPTO DE ESFUERZO

  Consideremos un sólido prismático en equilibrio estático bajo la acción de un sistema de fuerzas exteriores. Supongamos el sólido dividido en dos partes A Y B mediante un plano de corte imaginario normal a la directriz

  Atreves del corte imaginario, la parte B debe ejercer sobre la parte A una fuerza R y un momento M, referidos al centro de gravedad G de la sección, equivalentes a la acción exterior sobre la parte B, ya que en otro caso no se mantendría el equilibrio estático de la parte A.

  Obviamente, la parte A ejerce sobre la parte B una fuerza y un momento iguales y de sentido contrario, R y un momento  M

  Estas fuerzas internas que se ejercen entre sı las dos mitades del solido elástico atravez dela sección transversal del mismo, se conocen con el nombre de esfuerzos. Los esfuerzos son las resultantes de las tensiones sobre una sección transversal del solido prismático. Normalmente, se refieren al centro de gravedad G de la sección transversal.

  Esfuerzos normal y cortante

  La resultante de fuerzas tiene tres componentes en el sistema de referencia GXYZ de la sección transversal

  R= Ni+Tyj+Tzk

  La componente según el eje X, N, se conoce con el nombre de esfuerzo normal o de esfuerzo axial. Su expresión en función de las tensiones [T] que actúan sobre las secciones transversales:

  N =ƪΩ   σnx dΩ

  
  

  
  

  
  

  La componente según el eje Y, T y, es un esfuerzo cortante. Su expresión en función de las tensiones que actúan sobre la sección transversal es

  
  

  Ty=  ƪΩ   Txy dΩ

  
  
  
  
  

  
  

  Concepto de esfuerzo (diagrama)

  
  

  

  La componente según el eje Z, Tz, es el esfuerzo cortante según el eje Z. Su expresión en función de las tensiones que actúan sobre la sección transversal es:

  
  

  Tz=ƪΩ τxz dΩ

  
  

  4.3 DEFLEXION EN VIGAS

  
  

  DEFLEXION EN VIGAS

  Ecuación diferencial de la elástica

  Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida en el tema 2, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión pura:

  

  
  

      Donde ‘r’ es el radio de curvatura, ‘E’ el módulo de elasticidad del material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la sección transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que está sometida la misma.  Observemos que este último término se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’).

  Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto ‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión

  

  Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el término relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:

  

  Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.

  

  METODOS DE DOBLE INTEGRACION

  Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza  cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente  la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.

  Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

  

  El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial.  Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante.Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’.  Planteamos:

  

  Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación:

  

  De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.

  

  Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:

  Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier disIntegrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:
  

  

  Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.

  
  

  El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’, depende de las condiciones de frontera.  Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga.  Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.tancia ‘x’ m

  
  

  
  

  METODO DE TRES MOMENTOS

  Con este método puede analizarse una viga sostenida por cualquier número de apoyos.  De hecho, el teorema soluciona los momentos flectores en los apoyos sucesivos entre sí, y con las cargas que actúan en la viga.  En el caso de una viga con tres apoyos únicamente, este método permite el cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones de los extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos.  Luego pueden usarse los principios de estática para determinar las reacciones.

  
  

   En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica en sucesión a juegos de tres apoyos adyacentes, para obtener un juego de ecuaciones que se puede resolver simultáneamente para los momentos desconocidos.  Se puede usar el teorema de los tres momentos para cualquier combinación de cargas.de un extremo de la viga.

  
  

  El término ‘C₂’ es una constante de integración que, al igual que ‘C₁’, depende de las condiciones de frontera.  Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga.  Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.

  
  
  
  

  4.4  VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

  
  
  
  

  
  

  El análisis de las vigas estáticamente indeterminado es muy diferente al de las estáticamente determinadas. Cuando una viga es estáticamente determinada podemos obtener todas las reacciones, las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes a partir del diagrama de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio.

  Cuando una viga es estáticamente indeterminada, para determinar todas las reacciones no son suficientes las ecuaciones de equilibrio y se necesitan ecuaciones adicionales. El método mas fundamental para analizar una viga estáticamente indeterminada es resolver la ecuación diferencial de la curva de flexión.

  Si bien este método  sirve como un buen punto de partida en nuestro análisis, solo es práctico para los tipos de viga indeterminadas más simples.

  
  

  TIPOS DE VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

  Por lo general las vigas estáticamente indeterminadas se identifican  por la configuración de sus apoyos, por ejemplo una viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro se le denomina viga en voladizo apuntalada.

  Otro tipo de viga estáticamente indeterminada, conocida como viga doblemente empotrada, esta viga tiene soportes empotrados en ambos extremos, con lo cual resultan un total de seis reacciones desconocidas (dos fuerzas y un momento en cada soporte), puesto que solo has tres ecuaciones de equilibrio, la viga estáticamente indeterminada de  tercer grado (esta viga también recibe el nombre de viga empotrada o viga apuntalada).

  Viga continua llamada así porque tiene más de un clavo y es continúa sobre su soporte interior: Esta viga es estáticamente indeterminada de primer grado porque tiene cuatro fuerzas  reactivas y se dispone de solo tres ecuaciones de equilibrio.

  
  

  Bibliografia 

  
  

   GERE JAMES M.

  MECANICA DE MATERIALES

  A. Arguelles y I. Viña. Formulario Técnico de Elasticidad y Resistencia de Materiales. Bellisco. 2004

UNIDAD 5 : ESFUERZOS COMBINADOS

5.1 CIRCULO DE MOHR

Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza.

Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones.

Teoría del círculo de Mohr para dos dimensiones:

Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas. Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano xy (ver figura 1), de modo de que no existan esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas. Esta suposición se hace con el fin de no complicar por demás la matemática siendo el objeto de este desarrollo conocer el desarrollo matemático a fin de ser asociado con el modelo físico:

En la figura, además de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes coordenados los cuales han sido rotados un ángulo θ respecto del eje z (normal al plano), el par de ejes x1 e y1 son normal y tangente al plano Aθ respectivamente.

Queremos obtener una relación entre las tensiones en las áreas Ax , Ay y Aθ.

Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x:

Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje y:

Considerando que Ax =Aθ.cosθ y que Ay =Aθ.senθ, re escribimos las ecuaciones 1 y 2:

Multiplicando la ecuación (1-1) por cosθ, la (2-2) por senθ y sumando ambas se llega a:

Y considerando las relaciones trigonométricas:

Se llega a:

Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano θ:

Multiplicando la ecuación (1-1) por senθ, la (2-2) por cosθ, sumando ambas y considerando las relaciones trigonométricas (4) se llega a:

Obsérvese que las ecuaciones (5) y (6) no son mas que las componentes cartesianas de los puntos correspondientes a una circunferencia en el plano xy, la ecuación de la circunferencia se obtiene considerando la relación trigonométrica , entonces reemplazando en (5) y (6) se obtiene:

Esta circunferencia es lo que denominamos “Círculo de Mohr” para dos dimensiones. En esta circunferencia el ángulo formado por la recta con origen en el centro de la misma

y un punto cualquiera perteneciente al perímetro de la circunferencia, tiene valor 2θ, siendo θ el ángulo de inclinación del plano para el cuál las tensiones sobre esa superficie valen σθ y τθ. Consideremos σx< σy.

Así como se calculó el estado tensional en el plano θ a partir de las tensiones principales, el proceso se puede hacer de manera inversa. Conociendo el estado de carga para una cierta terna de ejes se pueden conocer las tensiones principales de un sistema dado.


5.2 Analisis de esfuerzos por cargas combinadas 

El esfuerzo es una cantidad que se define y que es indispensable para formular y resolver problemas de la mecánica de los cuerpos deformables.

Los esfuerzos normales y cortantes en vigas, ejes (o flechas) y barras pueden derivarse a partir de las diversas fórmulas.

Las condiciones de esfuerzos existentes en barras cargadas axialmente, barras en torsión y vigas son ejemplos de un estado de esfuerzo llamado esfuerzo plano. En un esfuerzo plano, sólo las caras X y Y del elemento están sometidos a esfuerzos, actúan paralelos a los ejes X y Y (fig. 6-1 a).

Cargas Combinadas (Esfuerzo Plano):

Los miembros estructurales a menudo requieren soportar más de un tipo de carga. El análisis de un miembro sometido a tales cargas combinadas puede realizarse usualmente mediante la superposición de  los esfuerzos debidos a cada carga que actúa separadamente. La suposición  de los esfuerzos  son funciones lineales de las cargas y no hay efectos interactivos entre las diferentes cargas. El último requisito satisface usualmente si la de flexiones y rotaciones de la estructura son pequeñas.

El análisis se inicia con la determinación de los esfuerzos  debido a las fuerzas axiales, pares, fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Luego, tales esfuerzos se combinan para obtener los esfuerzos resultantes, después de lo cual pueden analizarse los esfuerzos que actúan en direcciones inclinadas mediante las ecuaciones de transformación o el círculo de Morh. En particular, pueden calcularse los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos. De esta manera pueden analizarse cualquier número de localizaciones críticas en el elemento ya se confirmado que el diseño es adecuado, o si los esfuerzos son muy grandes  o muy pequeños, indicando que son necesarios algunos cambios en el diseño.

Ejemplo: Considérese la barra maciza en voladiza mostrada en la fig. 6-31 a. La barra está cargada en su extremo libre por un par torsionante T y una fuerza lateral flexiónate P. Estas cargas producen en cada sección transversal un momento de flexión M, una fuerza cortante V y  un momento de torsión T cada uno de los cuales produce esfuerzos que actúan sobre las secciones transversales. Si se separa un elemento esforzado A en la parte superior de la barra. Se aprecia que está sometido a un esfuerzo de flexión =Mr/I y a esfuerzo cortante 𝜏= Tr. En estas expresiones, r es el radio de la barra, I es el momento de inercia respecto al eje z (el eje neutro) e . Es el momento polar de inercia. En la parte superior de la barra no hay esfuerzos cortantes asociados con la fuerza cortante V. Luego el elemento  en A está sometido a esfuerzo plano, como se muestra en la fig. 6-31 b. Si se supone que  y 𝜏 se han calculado, se produce a determinar los esfuerzos sobre un elemento girado a cualquier ángulo deseado. Los esfuerzos normales máximos y mínimos en el punto A son los esfuerzos principales deducidos  a:

También, el esfuerzo cortante máximo localizado en el plano es

Mayor que los esfuerzos cortantes fuera del plano. Esfuerzos máximos pueden compararse en los esfuerzos normal y cortante permisibles al verificar si la barra es adecuada. Por supuesto, los esfuerzos son  mayores cuando el elemento A está localizado en el empotramiento de la viga, donde el momento flexionante M tiene su valor máximo. Por lo que la parte superior del empotramiento de la viga es uno de los puntos críticos donde deben analizarse los esfuerzos.

Otro punto crítico está sobre el costado de la barra en el eje neutro (punto B en la fig. 6-31 a). En este sitio, el esfuerzo por flexión  es cero, pero el esfuerzo cortante producido por la fuerza cortante V tiene su valor máximo. El elemento en B está en un estado de cortante puro (fig. 6-31 c), y el esfuerzo de corte resultante 𝜏 consta de dos partes: primera, el esfuerzo cortante  debido al par T y obtenido a partir de la fórmula =; y segundo, el esfuerzo cortante  debido a la fuerza cortante V (igual a la carga P) y obtenido a partir de la fórmula =4V/3ª para una barra  circular maciza. Luego, el esfuerzo total que actúa sobre el elemento es 𝜏=+. Los esfuerzos principales ocurren sobre planos 45° respecto al eje y tienen las mismas magnitudes que el propio esfuerzo cortante:

Por supuesto, el esfuerzo cortante máximos en B es el esfuerzo 𝜏. Estos esfuerzos normal y cortante máximos deben comparase con los obtenidos para elementos en la parte superior y en la base de la barra, a fin de calcular los esfuerzos máximos absolutos que se emplean en diseño. 

5.3 Estructuras
La estructura es un elemento o conjunto de elementos unidos entre si, con la finalidad de soportar diferentes tipos de esfuerzos.
las estructuras se pueden dividir en dos tipos de grupos segun la posicion de sus elementos (horizontal-vertical) o la movilidad de sus elementos (rigidas-verticales)

Para el diseño y construcción de estas hay que tener en cuenta las propiedades mecánicas de los materiales  y el tipo de esfuerzos al que van a estar sometidos estos.

-Algo que también hay que tener en cuenta es la estabilidad de la estructura, para ello hay que tener en cuenta la situación centro de gravedad y la amplitud de su base de apoyo.

Centro de gravedad es el punto donde confluye la fuerza resultante de la suma de todas las fuerzas que constituyen el peso del cuerpo o estructura. Para hallarlo hay que hacer las medianas de cada uno de sus lados(hallar el baricentro). Contra más cerca del suelo este mas estabilidad tendrá la estructura.

TIPOS DE ESTRUCTURAS

Estructuras horizontales y verticales

Las estructuras verticales son aquellas en las que los elementos que soportan los mayores esfuerzos están colocados en posición vertical.

Las estructuras horizontales son aquellas en las que los elementos que soportan los mayores esfuerzos se hallan colocadas horizontalmente. En este tipo de estructuras los elementos sometidos a mayor esfuerzo trabajan a flexión.

en las estructuras horizontales se emplean figuras geométricas curvas como el arco

Estructuras rígidas y estructuras articuladas. 

Las estructuras rígidas son aquellas que no se deforman cuando se les aplica diferentes fuerzas, excepto si sus elementos se rompen.

Las estructuras articuladas son aquellas en las que cuando se les aplica una fuerza, la estructura se deforma, controladamente,  al desplazarse los elementos que  la integran.

El triangulo es un estructura  rígida, en cambio las formas como el cuadrado ,pentágono, hexágono, etc...pueden articularse por sus vértices. A pesar de ello se pueden transformar en estructuras rígidas si les añadimos algún elemento como puede ser una escuadra, cartelas , arcos ,tirantes, barras puestas de forma que la figura quede compuesta de varios triángulos, etc... que dan rigidez  a la figura 

5.4 Columnas

Una columna es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto su longitud, para que abajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menos que la necesaria para romperlo por aplastamiento. Las columnas suelen dividirse en dos grupos: “Largas e Intermedias”. A veces, los elementos cortos a compresión se consideran como un tercer grupo de columnas. Las diferencias entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento. Las columnas largas re rompen por pandeo o flexión lateral; las intermedias, por combinación de esfuerzas, aplastamiento y pandeo, y los postes cortos, por aplastamiento.
Una columna ideal es un elemento homogéneo, de sección recta constante, inicialmente perpendicular al eje, y sometido a compresión. Sin embargo, las columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y de fabricación, así como una inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la carga. La curvatura inicial de la columna, junto con la posición de la carga, dan lugar a una excentricidad indeterminada, con respecto al centro de gravedad, en una sección cualquiera. El estado de carga en esta sección es similar al de un poste corto cargado excéntricamente, y el esfuerzo resultante está producido por la superposición del esfuerzo directo de compresión y el esfuerzo de flexión (o mejor dicho, por flexión).
Si la excentricidad es pequeña u el elemento es corto, la flexión lateral es despreciable, y el esfuerzo de flexión es insignificante comparado con el esfuerzo de compresión directo. Sin embargo, en un elemento largo, que es mucho más flexible ya que las flexiones son proporcionales al cubo de la longitud, con u valor relativamente pequeño de la carga P puede producirse un esfuerzo de flexión grande, acompañado de un esfuerzo directo de compresión despreciable. Así, pues, en las dos situaciones extremas, una columna corta soporta fundamentalmente el esfuerzo directo de compresión, y una columna larga está sometida principalmente al esfuerzo de flexión. Cuando aumenta la longitud de una columna disminuye la importancia y efectos del esfuerzo directo de compresión y aumenta correlativamente las del esfuerzo de flexión. Por desgracia, en la zona intermedia no es posible determinar exactamente la forma en que varían estos dos tipos de esfuerzos, o la proporción con la que cada una contribuye al esfuerzo total. Es esta indeterminación la que da lugar a la gran variedad de fórmulas para las columnas intermedias.

No se ha dado, hasta aquí, criterio alguno de diferenciación entre columnas largas e intermedias, excepto en su forma de trabajar, es decir, la columna larga está sometida esencialmente a esfuerzos de flexión y la intermedia lo está a esfuerzos de flexión y compresión directa. La distribución entre ambos tipos de acuerdo con su longitud sólo puede comprenderse después de haber estudiado las columnas largas.

CARGAS CRÍTICAS

Coloquemos verticalmente una viga muy esbelta, articulémosla en sus extremos mediante rótulas que permitan la flexión en todas sus direcciones. Apliquemos una fuerza horizontal H en sus puntos medios, de manera que produzca flexión según la dirección de máxima flexibilidad. Como los esfuerzos de flexión son proporcionales a la deflexión, no experimentarán variación alguna si se añade una fuerza axial P en cada extremo, y haciendo que H disminuya simultáneamente con el aumento de P de manera que la deflexión en el centro no varíe. Es estas condiciones, el momento flexionarte en el centro es:

M = H/2*(L/2) + P

y, en el límite, cuando H ha disminuido hasta anularse,

M = (Pcr)*.

Entonces, Pcr es la carga crítica necesaria para mantener la columna deformada sin empuje lateral alguno. Un pequeño incremento de P sobre este valor crítico hará que aumente la deflexión, lo que incrementará M, con lo cual volverá aumentar  y así sucesivamente hasta que la columna se rompa por pandeo. Por el contrario, si P disminuye ligeramente por debajo de su valor crítico, disminuye la deflexión, lo que a su vez hace disminuir M, vuelve a disminuir, etc., y la columna termina por enderezarse por completo. Así, pues, la carga crítica puede interpretarse como la carga axial máxima a la que puede someterse una columna permaneciendo recta, aunque en equilibrio inestable, de manera que un pequeño empuje lateral haga que se deforme y quede pandeada.

FORMULA DE EULER

En el año 1757, el gran matemático suizo Leonardo Euler realizó un análisis teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basado en la ecuación diferencial de la elástica:

M = EI(d2y/dx2)

Ahora se sabe que este análisis es valido hasta que los esfuerzos alcanzan el límite de proporcionalidad. En tiempo de Euler no se habían establecido los conceptos de esfuerzo, ni de límite de proporcionalidad, por lo que él no tubo en cuenta la existencia de una límite superior de la carga crítica.

Cuando una columna está sometida a una carga P. Se supone que la columna tiene los extremos articulados (mediante rótulas o pasadores) de manera que no pueden tener desplazamientos laterales. La deflexión máxima es lo suficientemente pequeña para que no exista diferencia apreciable entre la longitud inicial de la columna y su proyección sobre el eje vertical. En estas condiciones, la pendiente dy/dx es pequeña y se puede aplicar la ecuación diferencial aproximada de la elástica de una viga:

EI(d2y/dx2) = M = P(-y) = -Py.

El momento M es positivo al pandear la columna en el sentido contrario al del reloj, por lo que al ser la y negativa, ha de ir precedida del signo menos. Si la columna se pandara en sentido contrario, es decir, en la dirección de y positiva, el momento sería negativo, de acuerdo con el criterio de signos adoptado.

La ecuación anterior no se puede integrar directamente, como se hacía anteriormente ya que allí M solamente era función de x. Sin embargo, presentamos dos métodos para resolverla. Conociendo algo de dinámica nos damos cuenta que la ecuación anterior es semejante a la ecuación de un cuerpo que vibra simplemente:

M(d2x/dx2) = -kx

para lo cual una solución general es:

x = C1sen(t"(k/m)) + C2cos(t"(k/m))

de aquí, por analogía, la solución de la ecuación viene dada por:

y = C1sen(x"(P/EI)) + C2cos(x"(P/EI))

LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER

Una columna tiene a pandearse siempre en la dirección en la cual es mas flexible. Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, el valor de I en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta.

La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del módulo de elástico.Por este motivo, dos barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero suave, se pandearán bajo la misma carga crítica ya que aunque sus resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo modulo elástico. Así pues, para aumenta la resistencia al pandeo, interesa aumentar lo más posible el momento de inercia de la sección. Para un área dada, el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo más parecidos posible ( como en una columna hueca).

Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produzca en el pandeo no debe exceder al límite de proporcionalidad. Para determinar este esfuerzo, se sustituye en la fórmula el momento de inercia I por Ar2, donde A es el área de la sección recta y r es el radio de giro mínimo.

bibliografia 

“Introducción a la teoría de elasticidad” (Godoy-Prato-Flores)

Mecánica de materiales AUTOR HIBBER

Nash, William

Resistencia de materiales

Editorial, McWraw Hill

Series Schaum.

Singer, Ferdinard L., Pytel, Anrew

Resistencia de materiales,

introducción a la mecánica de sólidos

Oxford University, cuarta edición.